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<title>Dynamisches System (Systemtheorie)</title>

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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Dynamisches System (Systemtheorie)</h1>

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<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Ein dynamisches System ist eine abgegrenzte zeitabhängige Funktionseinheit, die durch ihre Signaleingänge und Signalausgänge in einer Wechselwirkung mit der <a href="Umwelt" title="Umwelt">Umwelt</a> steht. Das <a href="System" title="System">System</a> kann beispielsweise ein mechanisches Gebilde, ein <a href="Netzwerk_(Elektrotechnik)" title="Netzwerk (Elektrotechnik)">elektrisches Netzwerk</a>, aber auch ein <a href="Biologie" title="Biologie">biologischer</a> Vorgang oder ein Bestandteil der <a href="Volkswirtschaft" title="Volkswirtschaft">Volkswirtschaft</a> sein.

Das System hat mindestens einen Signaleingang und einen Signalausgang und reagiert zu einem bestimmten Zeitpunkt auf ein beliebiges Eingangssignal mit einer bestimmten zeitlichen Reaktion auf das Ausgangssignal. Die in dem System enthaltenen <a href="Energiespeicher" title="Energiespeicher">Energiespeicher</a> als Ursache des Zeitverhaltens können je nach Beobachtungszeitpunkt gewollt oder ungewollt einen Systemzustand ≠ 0 im <a href="Zustandsraum" class="mw-disambig" title="Zustandsraum">Zustandsraum</a> einnehmen, bei dem sich die Wirkung des Eingangssignals mit dem Systemverhalten und dem Systemzustand auf das Systemausgangssignal überlagert.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Elementare_Begriffe_des_dynamischen_Systems">Elementare Begriffe des dynamischen Systems</h2></div>

Ein technisches dynamisches System enthält einen oder mehrere Energiespeicher, die konzentriert oder räumlich verteilt angeordnet sind. Häufig werden bei Systemberechnungen zur Vereinfachung konzentrierte Energiespeicher angenommen. Dynamische Systeme mit konzentrierten Systemspeichern enthalten <a href="Variable_(Mathematik)" title="Variable (Mathematik)">Variablen</a> als Funktion der Zeit. Dynamische Systeme mit räumlicher Verteilung der Systemspeicher enthalten Variablen als Funktionen der Zeit und des Ortes.

Ein dynamisches System ist eine Funktionseinheit zur Verarbeitung und Übertragung von Signalen, wobei die Systemeingangsgröße als Ursache und die Systemausgangsgröße als zeitliche Auswirkung definiert ist.

Ferner können die internen Energiespeicher <a href="Anfangswertproblem" title="Anfangswertproblem">Anfangswerte</a> enthalten, wenn das Signalverhalten eines Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{0}\,}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{0}\,}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13cf8ee7ca797c2d7be99e1625b40e64ab3ff3ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.281ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{0}\,}" loading="lazy"> innerhalb eines Einschwingvorgangs für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t>0\,}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t>0\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d194646b4bd8811c21da619dcbc7819616436e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.488ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t>0\,}" loading="lazy"> betrachtet werden soll.

<ul><li>Das Ausgangs-Eingangsverhalten dieser Systeme kann <a href="Lineare_Funktion" title="Lineare Funktion">linear</a>, <a href="Nichtlineare_Systeme" class="mw-redirect" title="Nichtlineare Systeme">kontinuierlich nichtlinear</a>, diskontinuierlich nichtlinear, <a href="Lineares_zeitinvariantes_System" title="Lineares zeitinvariantes System">zeitinvariant</a>, zeitvariant und <a href="Totzeit_(Regelungstechnik)" title="Totzeit (Regelungstechnik)">totzeitbehaftet</a> sein. Dies gilt für Eingrößen- und Mehrgrößensysteme.</li></ul>

<ul><li>Definition Linearität: Ein System verhält sich linear, wenn es das Superpositionsprinzip (Überlagerungsprinzip) und das Verstärkungsprinzip erfüllt.<a href="#cite_note-1">[1]</a></li></ul>

<dl><dd>Eine grafische Darstellung des Ausgangs-Eingangsverhaltens des <a href="Lineares_zeitinvariantes_System" title="Lineares zeitinvariantes System">linearen dynamischen Systems</a> mit asymptotisch stabilem Verhalten muss nach genügend langer Zeit immer eine unbegrenzte Gerade zeigen, die vom Ursprung versetzt sein kann.<a href="#cite_note-2">[2]</a></dd></dl>

<ul><li>Definition nichtlineares System: Statische kontinuierlich nichtlineare Systeme ändern ihre Verstärkung nach einer bestimmten Funktion. Nichtlineare dynamische Systeme bereiten in der Systemberechnung Probleme, weil sie selten analytisch lösbar sind. Übliche Systembeschreibungen erfolgen durch die numerische zeitdiskrete Berechnung mit logischen Befehlen und Differenzengleichungen. Nichtlineare dynamische Systeme können zur einfacheren Berechnung auch durch Modelle in Kombinationen von nichtlinearen Systemen ohne Zeitverhalten und linearen dynamischen Systemen aufgeteilt werden, z. B. nach dem <a href="Hammerstein-Modell" title="Hammerstein-Modell">Hammerstein-Modell</a>. Nichtlineare statische Modelle sind meist Unikate.<a href="#cite_note-3">[3]</a></li></ul>

<ul><li>Komplexe dynamische Systeme bestehen allgemein aus mehreren Teilsystemen bestimmter Struktur, die in <a href="Signalflussplan" title="Signalflussplan">Signalflussplänen</a> (Blockschaltbildern) als Reihen-, Parallel- und Rückführschaltungen dargestellt werden.</li></ul>

<ul><li>Statische lineare oder nichtlineare Systeme haben keine Energiespeicher und damit kein Zeitverhalten. Das Ausgangs-Eingangsverhalten wird durch algebraische oder <a href="Algebraische_Funktion" title="Algebraische Funktion">transzendente Funktionen</a> oder Wertetabellen beschrieben.</li></ul>

<ul><li>→ Siehe Wikibooks: Einführung in die Systemtheorie/ Beschreibung linearer Prozesse im Zeitbereich:</li></ul>

<dl><dd><div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Einf%C3%BChrung_in_die_Systemtheorie/_Beschreibung_linearer_Prozesse_im_Zeitbereich#Linearitätseigenschaften" class="extiw external" title="b:Einführung in die Systemtheorie/ Beschreibung linearer Prozesse im Zeitbereich">Wikibooks: Linearitätseigenschaften</a> – Lern- und Lehrmaterialien</div></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mathematische_Verfahren_zur_Systembeschreibung_und_Systemberechnung">Mathematische Verfahren zur Systembeschreibung und Systemberechnung</h2></div>

<a href="Mathematisches_Modell" title="Mathematisches Modell">Mathematische Modelle</a> der dynamischen Systeme werden je nach Kenntnis und Verfügbarkeit der Systemparameter durch verschiedene mathematische Beschreibungsmethoden gekennzeichnet bzw. angenähert.

Die bekannteste Systembeschreibung ist die <a href="Differenzialgleichung" class="mw-redirect" title="Differenzialgleichung">Differenzialgleichung</a>. Andere bekannte Systembeschreibungen der dynamischen Systeme lassen sich von den Differenzialgleichungen entwickeln, wie die <a href="%C3%9Cbertragungsfunktion" title="Übertragungsfunktion">Übertragungsfunktion</a> mit dem komplexen Frequenzbereich F(s), der <a href="Frequenzgang" title="Frequenzgang">Frequenzgang</a> F(jω), die <a href="Zustandsraumdarstellung" title="Zustandsraumdarstellung">Zustandsraumdarstellung</a> f(t), die für die numerische Berechnung benötigten <a href="Differenzengleichung" title="Differenzengleichung">Differenzengleichungen</a> f(k,Δt), sowie die zugehörige <a href="Z-Transformation" title="Z-Transformation">z-Übertragungsfunktion</a>.

Die Berechnung dynamischer Systeme dient der Kenntnis des Ausgangs-Eingangsverhaltens und der <a href="Systemanalyse" title="Systemanalyse">Systemanalyse</a>. Je nach Art des dynamischen Systems eignen sich verschiedene mathematische Beschreibungs- und Berechnungsverfahren.

Dynamische Systeme mit Totzeitverhalten (Transportzeit) können praktisch nur mit numerischen zeitdiskreten Verfahren berechnet werden.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Übersicht_Differenzialgleichungen">Übersicht Differenzialgleichungen</h3></div>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Gewöhnliche_Differenzialgleichung_höherer_Ordnung_mit_konstanten_Koeffizienten">Gewöhnliche Differenzialgleichung höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten</h4></div>

<dl><dd>Eine <a href="Gew%C3%B6hnliche_Differenzialgleichung" class="mw-redirect" title="Gewöhnliche Differenzialgleichung">gewöhnliche Differenzialgleichung</a> ist eine Gleichung, die eine oder mehrere Ableitungen einer unbekannten Funktion enthält. Die Bezeichnung „gewöhnlich“ bezieht sich darauf, dass die gesuchte Funktion nur von einer Variablen abhängt. Eine lineare gewöhnliche Differenzialgleichung enthält die gesuchte Funktion und deren Ableitungen nur in der ersten Potenz. Die gesuchte Funktion darf auch nicht in Argumenten von Winkelfunktionen, Logarithmen usw. erscheinen, anderenfalls wird die Differenzialgleichung nichtlinear. Nichtlineare Differenzialgleichungen mit den verschiedenen Arten der Nichtlinearität sind nur in sehr seltenen Ausnahmefällen analytisch lösbar. Solche dynamischen Systeme können mittels der numerischen zeitdiskreten Methoden beschrieben und berechnet werden.</dd></dl>

<dl><dd>Die häufigsten mathematischen Systembeschreibungen linearer Systeme sind gewöhnliche Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Zur Aufstellung der Differenzialgleichungen höherer Ordnung werden Bilanzgleichungen der Energie / Materie-Speicher benötigt. Systeme mit konzentrierten Speichern erfordern für jede Speicherfunktion eine Differenzialgleichung 1. Ordnung.<a href="#cite_note-4">[4]</a></dd></dl>

<dl><dd>Bei dynamischen Systemen in Form ausgeführter technischer Anlagen stehen Differentialgleichungen selten zur Verfügung. Das Systemverhalten muss erst noch analysiert und dann formuliert werden.</dd></dl>

<dl><dd>Beispiel einer gewöhnlichen Differenzialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten a und b für ein System mit dem Ausgangssignal y(t) und Eingangssignal u(t):

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n}y^{(n)}+\ldots +a_{2}{\ddot {y}}+a_{1}{\dot {y}}+a_{0}y=b_{m}u^{(m)}+\ldots +b_{2}{\ddot {u}}+b_{1}{\dot {u}}+b_{0}u\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/710e97101ac8e3daa633aa16709e3b1886779dbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:65.475ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle a_{n}y^{(n)}+\ldots +a_{2}{\ddot {y}}+a_{1}{\dot {y}}+a_{0}y=b_{m}u^{(m)}+\ldots +b_{2}{\ddot {u}}+b_{1}{\dot {u}}+b_{0}u\,}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl>

<dl><dd>Konventionelle Lösung der gewöhnlichen Differenzialgleichung: </dd></dl>

<dl><dd>Die Lösung einer Differenzialgleichung (DGL) erfolgt immer durch Integration und ist eine Funktion, nicht ein Wert.</dd></dl>

<dl><dd>Mit dem Lösungsansatz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=e^{{\lambda }\cdot t}\,}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=e^{{\lambda }\cdot t}\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a1c45706e95fcf29fc0fcdea96fe23fc6e916ca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.966ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle y=e^{{\lambda }\cdot t}\,}" loading="lazy"> (λ = <a href="Nullstelle" title="Nullstelle">Nullstelle</a>) ergibt sich ein universelles Lösungsverfahren für die homogene Lösung der DGL beliebiger Ordnung mit konstanten Koeffizienten (siehe <a href="Charakteristische_Gleichung" title="Charakteristische Gleichung">Charakteristische Gleichung</a>).</dd></dl>

<dl><dd><ul><li>Gesamtlösung besteht aus zwei Lösungsanteilen: y(t) = Homogene Lösung yH(t) + Partikuläre Lösung yP(t)</li></ul></dd></dl>

<dl><dd><ul><li>Homogene Lösung: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{H}(t)=C_{1}\cdot e^{{\lambda }_{1}\cdot t}+C_{2}\cdot e^{{\lambda }_{2}\cdot t}+C_{3}\cdot e^{{\lambda }_{3}\cdot t}+\cdots }">

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{H}(t)=C_{1}\cdot e^{{\lambda }_{1}\cdot t}+C_{2}\cdot e^{{\lambda }_{2}\cdot t}+C_{3}\cdot e^{{\lambda }_{3}\cdot t}+\cdots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4667be0ab9f05a62ec1c4156643f778dd2968d9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:45.478ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle y_{H}(t)=C_{1}\cdot e^{{\lambda }_{1}\cdot t}+C_{2}\cdot e^{{\lambda }_{2}\cdot t}+C_{3}\cdot e^{{\lambda }_{3}\cdot t}+\cdots }" loading="lazy"></li></ul>

<dl><dd>Bedingung: Die homogene Lösung bezieht sich nur auf Anfangswerte. Die System-Eingangserregung ist Null. Nachteil: Umständliche Berechnung der Integrationskonstanten C.</dd></dl></dd></dl>

<dl><dd><ul><li>Partikuläre Lösung für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{p}(t)\,}">

<msub>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{p}(t)\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e31097e4de04c10a35156326e6f85dec2534b3bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:5.234ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle y_{p}(t)\,}" loading="lazy"> der DGL über das Faltungsintegral oder über die <a href="Laplace-Transformation" title="Laplace-Transformation">Laplace-Transformation</a>.</li></ul>

<dl><dd>Bedingung: Alle Anfangswerte sind gleich Null. Die Eingangserregung ist von Null verschieden. Das Faltungsintegral für Systeme höherer Ordnung ist schwierig zu lösen.</dd></dl></dd></dl>

<dl><dd>Lösung des zeitlichen Systemverhaltens aus der Übertragungsfunktion der DGL bei einem gegebenen Eingangssignal U(s):</dd>

<dd>Bei der gewöhnlichen DGL höherer Ordnung eignet sich besser der Lösungsweg über die Laplace-Transformation oder über die numerische Berechnung mit der diskreten Zeit. Bei der Anwendung zur Lösung einer DGL über die Übertragungsfunktion mit Hilfe der inversen Laplace-Transformation wird die analytische Lösung im Zeitbereich über den Suchbegriff in der Laplace-Transformationstabelle in <a href="Operator_(Mathematik)" title="Operator (Mathematik)">Operatorenschreibweise</a> gefunden.</dd></dl>

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<mtext>Suchbegriff</mtext>

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</mstyle>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(t)={\mathcal {L}}^{-1}\underbrace {\left\{G(s)\cdot U(s)\right\}} _{\text{Suchbegriff}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/633bab7a93f324ad001b582a00e2c925bd65ba7e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; margin-right: -0.028ex; width:24.28ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle y(t)={\mathcal {L}}^{-1}\underbrace {\left\{G(s)\cdot U(s)\right\}} _{\text{Suchbegriff}}}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Differenzialgleichung_höherer_Ordnung_mit_variablen_Koeffizienten">Differenzialgleichung höherer Ordnung mit variablen Koeffizienten</h4></div>

<ul><li>Sind diese Koeffizienten oder nur ein Koeffizient dieser Differenzialgleichung variabel, dann ändert sich das Zeitverhalten des dynamischen Systems, d. h. eine <a href="Sprungantwort" title="Sprungantwort">Sprungantwort</a> des Systems für einen gegebenen Eingangssprung nimmt einen anderen zeitlichen Verlauf. Dieses Verhalten wird leicht verständlich, wenn man die Laplace-transformierte Differenzialgleichung als Übertragungsfunktion betrachtet.</li>

<li>Sind die Koeffizienten zeitabhängig, führt dieses zu <a href="Systemeigenschaften" class="mw-redirect" title="Systemeigenschaften">zeitvariantem</a> Systemverhalten, d. h. das Zeitverhalten des Systems ist zu unterschiedlichen Zeitpunkten für t > t0 unterschiedlich. Systembeispiel: Wenn bei einer beschleunigten Rakete die Masse des Treibstoffs sich ändert.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Partielle_Differenzialgleichung">Partielle Differenzialgleichung</h4></div>

<dl><dd>Bei <a href="Partielle_Differenzialgleichung" class="mw-redirect" title="Partielle Differenzialgleichung">partiellen Differenzialgleichungen</a> hängt die gesuchte Funktion von mehreren Variablen ab. Es wird nach mehreren Variablen abgeleitet. Die Anwendung dieser Gleichung erfolgt z. B. bei dynamischen Systemen mit Zeit- und Ortskoordinaten.</dd>

<dd>Systembeispiel: Signalübertragung bei langen elektrischen Leitungen oder Wärmefluss in homogenen Medien (Flüssigkeiten, Metalle, Stein).</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Grundlagen_Laplace-Übertragungsfunktion">Grundlagen Laplace-Übertragungsfunktion</h3></div>

Die <a href="%C3%9Cbertragungsfunktion" title="Übertragungsfunktion">Übertragungsfunktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G(s)=Y(s)/U(s)}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G(s)=Y(s)/U(s)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/46a3288a2cd7b5c6283ef88068560118cadbfe85.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.343ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G(s)=Y(s)/U(s)}" loading="lazy"> mit der komplexen Frequenz s entsteht aus der Laplace-Transformation einer linearen Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Die Zerlegung der entstehenden Polynomgleichung erfolgt durch die Pol-Nullstellenbestimmung (sp und sn) in Linearfaktoren. Die Darstellungsformen der Übertragungsfunktion als rational gebrochene Funktion unterscheiden die faktorisierte Pol-Nullstellendarstellung und die Zeitkonstantendarstellung.<a href="#cite_note-5">[5]</a>

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<mtext>Produktterm</mtext>

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<mtext>negativer Wert</mtext>

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<mtext>Zeitkonstantendarstellung</mtext>

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</mstyle>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \underbrace {(s-s_{p})} _{\text{Produktterm}}=\underbrace {s_{p}\cdot \left({\frac {1}{s_{p}}}\cdot s+1\right)} _{s_{p}={\text{negativer Wert}}}=\underbrace {k\cdot (T\cdot s+1)} _{\text{Zeitkonstantendarstellung}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/600bdd5655cb8266d8183ed573090456d7735c87.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.505ex; width:51.215ex; height:10.176ex;" alt="{\displaystyle \underbrace {(s-s_{p})} _{\text{Produktterm}}=\underbrace {s_{p}\cdot \left({\frac {1}{s_{p}}}\cdot s+1\right)} _{s_{p}={\text{negativer Wert}}}=\underbrace {k\cdot (T\cdot s+1)} _{\text{Zeitkonstantendarstellung}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Weitere Entstehungsweisen sind über System-Identifikationsmethoden mittels Testsignalen, durch Messen des Frequenzgangs <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G(j\omega )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G(j\omega )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bc7f69bf79231ada35d38992e0abfe28454605c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.04ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G(j\omega )}" loading="lazy"> des Systems oder über <a href="Spannungsteiler" title="Spannungsteiler">Spannungsteiler</a> aus einem rückwirkungsfreien Impedanzverhältnis möglich.

Die Übertragungsfunktion ist die häufigste Systemdarstellung, weil nur 3 Formen – je im Zähler und Nenner – von <a href="Linearfaktor" class="mw-redirect" title="Linearfaktor">Linearfaktoren</a> oder deren Vielfache von differenzierenden und verzögernden linearen elementaren Grundsystemen existieren und die Wiedererkennung des Systems anhand der Gleichung hoch ist.

Alle Terme im Zähler und Nenner der Übertragungsfunktion können algebraisch behandelt werden. Im Zeitbereich bestimmen Linearfaktoren im Nenner das Systemzeitverhalten und wirken integrierend oder zeitverzögernd. Linearfaktoren im Zähler bestimmen die Größe der Amplituden und haben ein differenzierendes Verhalten.

Die Übertragungsfunktion in Polynom-Darstellung und Zeitkonstanten-Darstellung mit T = 1/sp und Tv = 1/sn lautet:

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {b_{m}s^{m}+\ldots +b_{2}s^{2}+b_{1}s+b_{0}}{a_{n}s^{n}+\ldots +a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}}}=K\cdot {\frac {(T_{V1}\cdot s+1)(T_{V2}\cdot s+1)\dotsm (T_{Vm}\cdot s+1)}{(T_{1}\cdot s+1)(T_{2}\cdot s+1)\dotsm (T_{n}\cdot s+1)}}}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/08aeaf4a9e07e923f52082c21932b544cd2d7ccf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:94.777ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {b_{m}s^{m}+\ldots +b_{2}s^{2}+b_{1}s+b_{0}}{a_{n}s^{n}+\ldots +a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}}}=K\cdot {\frac {(T_{V1}\cdot s+1)(T_{V2}\cdot s+1)\dotsm (T_{Vm}\cdot s+1)}{(T_{1}\cdot s+1)(T_{2}\cdot s+1)\dotsm (T_{n}\cdot s+1)}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Begriffsklärung_Zustandsraumdarstellung">Begriffsklärung Zustandsraumdarstellung</h3></div>

Unter dem Begriff <a href="Zustandsraumdarstellung" title="Zustandsraumdarstellung">Zustandsraumdarstellung</a> versteht man die Beschreibung eines dynamischen Übertragungssystems durch seine Zustandsgrößen (= Zustandsvariablen). Dabei wird die systembeschreibende Differenzialgleichung n-ter Ordnung mit n konzentrierten Energiespeichern in n Differenzialgleichungen 1. Ordnung zerlegt und in eine Matrizen/Vektor-Darstellung gebracht. Die Zustandsvariablen beschreiben physikalisch den Energiegehalt der in einem technischen dynamischen System enthaltenen Speicherelemente.<a href="#cite_note-6">[6]</a>

Lineare und nichtlineare dynamische Systeme, auch <a href="%C3%9Cbertragungssystem" title="Übertragungssystem">Mehrgrößensysteme</a> können so behandelt werden. Lineare dynamische Systeme mit Anfangswerten können relativ einfach mit der Regelungsnormalform des Zustandsraumes numerisch berechnet werden, ohne Überführung in die Matrizen/Vektor-Darstellung.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Grundlagen_„Numerische_Berechnung_dynamischer_Systeme“">Grundlagen „Numerische Berechnung dynamischer Systeme“</h3></div>

Für die Berechnung linearer und nichtlinearer totzeitbehafteter Systeme kommt praktisch nur die numerische Berechnung mit der diskreten Zeit Δt infrage. Sie entspricht in der einfachsten Form der menschlichen Denkweise für ein lineares System in Operatorendarstellung des Ausgangssignals <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{(k\cdot t)}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{(k\cdot t)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0c55fbf6dc5ce441a6f1b09711163d9b5acb3ce3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:4.558ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y_{(k\cdot t)}}" loading="lazy"> für ein gegebenes Eingangssignal <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{(k\cdot t)}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{(k\cdot t)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/61401f5961109b36b15e96bbe79b058b95be8701.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:4.749ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle u_{(k\cdot t)}}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-7">[7]</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mtext>System</mtext>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{(k\cdot t)}=f({\text{System}},k,\Delta t,u_{(k\cdot t)})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7c2a59ee52f6c6fc9f8c03487ee8c5a753979c01.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:29.891ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle y_{(k\cdot t)}=f({\text{System}},k,\Delta t,u_{(k\cdot t)})}" loading="lazy"></dd></dl>

Je nach der Systemeigenschaft wird schrittweise für eine kleine Zeitdifferenz ein neues Ausgangssignal <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{(k)}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{(k)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d25a373f109c5ac6507d8959867c735ccca40669.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:3.507ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y_{(k)}}" loading="lazy"> berechnet. Für jede neue Berechnungsfolge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=(0;1;2;3\cdots k_{i})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=(0;1;2;3\cdots k_{i})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3d0a3f4bd1d3ea5d6e7722b93a662fa0200f6a63.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.379ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle k=(0;1;2;3\cdots k_{i})}" loading="lazy"> eines Teilsystems bezieht sich das aktuelle Ausgangssignal <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{(k)}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{(k)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d25a373f109c5ac6507d8959867c735ccca40669.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:3.507ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y_{(k)}}" loading="lazy"> additiv auf eine zurückliegende Folge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{(k-1)}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{(k-1)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/116aa74209660d01078c3986006229356e718936.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:5.608ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y_{(k-1)}}" loading="lazy">.

Numerische Lösungen der Berechnung des Systemverhaltens sind üblicherweise tabellarisch in ki Zeilen dargestellt. Jede Zeile enthält die gleichen logischen Befehle (bei Nichtlinearität) und Differenzengleichungen.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Differenzengleichung">Differenzengleichung</h4></div>

<a href="Differenzengleichung" title="Differenzengleichung">Differenzengleichungen</a> beschreiben im einfachsten Falle Differenzialgleichungen 1. Ordnung, deren <a href="Differentialquotient" class="mw-redirect" title="Differentialquotient">Differentialquotienten</a> durch Differenzenquotienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta y/\Delta t}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta y/\Delta t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cdcf2f4f2c720a75053f79a4a0196cb9e713e57d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.029ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta y/\Delta t}" loading="lazy"> ausgetauscht wurden. Sämtliche linearen Systeme höherer Ordnung können mit Hilfe von 4 Arten von Differenzengleichungen beschrieben werden, auch schwingende Systeme mit konjugiert komplexen Polpaaren.

Beispiel einer Differenzengleichung der Integrationsfunktion nach dem Rückwärts-Differenzenquotient-Verfahren.

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{(k)}=y_{(k-1)}+u_{(k)}\cdot {\frac {\Delta t}{T}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5a8ed00f5eee5afe957a205e1c0c02779471814.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:24.043ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle y_{(k)}=y_{(k-1)}+u_{(k)}\cdot {\frac {\Delta t}{T}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Abgetastete lineare dynamische Systeme im Online-Betrieb wie auch Simulationen von dynamischen Systemen werden mit Differenzengleichungen berechnet.

<dl><dd>→ Ausführliche Details, siehe Artikel <a href="Differenzengleichung_(Differenzenverfahren)" title="Differenzengleichung (Differenzenverfahren)">Differenzengleichung (Differenzenverfahren)</a>.</dd>

<dd>→ Siehe auch Artikel <a href="Seminumerischer_Algorithmus" title="Seminumerischer Algorithmus">Seminumerischer Algorithmus</a> für gemischte verschiedenartige Übertragungssysteme.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Berechnungsbeispiele_linearer_Systeme">Berechnungsbeispiele linearer Systeme</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Fremderregter_Gleichstrom-Nebenschlussmotor_mit_asymptotischem_Verhalten">Fremderregter Gleichstrom-Nebenschlussmotor mit asymptotischem Verhalten</h3></div>

<dl><dd>Es handelt sich um ein lineares asymptotisch stabiles System mit einem Systemeingang u(t) als Ankerspannung und einem Systemausgang y(t) als Drehzahl. Dieses System wird durch eine gewöhnliche Differenzialgleichung 2. Ordnung beschrieben (Zeitverzögerungen: Induktivität der Magnetspulen, Magnetkraft zur Beschleunigung der Ankermasse).</dd></dl>

<dl><dd>Die Ruhelage des Systems ist nach genügend langer Zeit proportional abhängig von der Größe des Eingangssignals.</dd>

<dd>Es handelt sich um ein Verzögerungssystem 2. Ordnung, das im komplexen Frequenzbereich 2 reelle Pole aufweist.</dd></dl>

<dl><dd>Systembeschreibende gewöhnliche Differenzialgleichung mit den Koeffizienten an und bm:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{2}\cdot {\ddot {y}}(t)+a_{1}\cdot {\dot {y}}(t)+a_{0}\cdot y(t)=b_{0}\cdot u(t)\,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d889d891d995371498fd5b0decc9902320303395.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.472ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a_{2}\cdot {\ddot {y}}(t)+a_{1}\cdot {\dot {y}}(t)+a_{0}\cdot y(t)=b_{0}\cdot u(t)\,}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl>

<dl><dd>Bei Anwendung der Laplace-Transformation der Differenzialgleichung entsteht die Polynomdarstellung der Übertragungsfunktion G(s). Mit Hilfe der Pol-Nullstellenzerlegung ergibt sich die Produktdarstellung der Übertragungsfunktion.</dd>

<dd>Übertragungsfunktion in Zeitkonstantendarstellung:

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {K}{(T_{1}\cdot s+1)(T_{2}\cdot s+1)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06b9debb2663c545a466fe3ddea7e11275801e05.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:39.265ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {K}{(T_{1}\cdot s+1)(T_{2}\cdot s+1)}}}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl>

<dl><dd>Lösung der Funktion der Systemausgangsgröße mit Hilfe der Laplace-Transformationstabellen für einen normierten Eingangssprung 1(t): <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\,\{1(t)\}=1/s}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\,\{1(t)\}=1/s}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1fe65f51caa71678dcf6e582b18a572200b5ab4b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.974ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\,\{1(t)\}=1/s}" loading="lazy">

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(t)=K\cdot [1+{\frac {1}{T_{2}-T_{1}}}({T_{1}\cdot e^{-{\frac {t}{T_{1}}}}}-{T_{2}\cdot e^{-{\frac {t}{T_{2}}}}})]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e9102e78e41853c2acfe27fc8711813d9fcb2f5e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:47.297ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle y(t)=K\cdot [1+{\frac {1}{T_{2}-T_{1}}}({T_{1}\cdot e^{-{\frac {t}{T_{1}}}}}-{T_{2}\cdot e^{-{\frac {t}{T_{2}}}}})]}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Numerische_Berechnung_eines_Übertragungssystems_2._Ordnung_mit_Hilfe_der_Regelungsnormalform_der_Zustandsraumdarstellung">Numerische Berechnung eines Übertragungssystems 2. Ordnung mit Hilfe der Regelungsnormalform der Zustandsraumdarstellung</h3></div>

Die bis in die 1960er Jahre bevorzugte Lösung einer systembeschreibenden Differenzialgleichung durch einen Analogrechner ähnelt sehr stark der Regelungsnormalform des <a href="Zustandsraumdarstellung" title="Zustandsraumdarstellung">Zustandsraumes</a>.

Die Ausgangswerte der Integratoren können zu einem beliebig wählbaren Zeitpunkt für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02d3006c4190b1939b04d9b9bb21006fb4e6fa4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.894ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{0}}" loading="lazy"> den Wert Null haben, oder auf einen beliebigen Anfangswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{0},y'_{0},y''_{0}\cdots }">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{0},y'_{0},y''_{0}\cdots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/736e1bcaf60bc8c5a241be795003d6de81867e85.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.863ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y_{0},y'_{0},y''_{0}\cdots }" loading="lazy"> gesetzt werden, unabhängig davon, ob die Eingangsgröße <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b375df3b65d282f8715835dc91ccb22f46993959.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u(t)}" loading="lazy"> einen Wert ungleich Null oder gleich Null hat. Die Ausgänge der Integratoren sind die Zustandsvariablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{n}(t){\text{ bis }}x_{1}(t)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{n}(t){\text{ bis }}x_{1}(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/353b1a9e2e53a28a9cd4b04f75203e56296f7fec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.247ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{n}(t){\text{ bis }}x_{1}(t)}" loading="lazy"> und jeweils die Lösungen der Differentiale, indem sie mit den zugehörigen Koeffizienten auf den Eingang der höchsten Ableitung zurückgeführt werden. Die gesuchte Funktion der Ausgangsgröße <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/397de1edef5bf2ee15c020f325d7d781a3aa7f50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.804ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(t)}" loading="lazy"> entspricht der Zustandsvariablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1}(t)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/edc245640b5794e3f754bee7b713761282b60c21.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.033ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{1}(t)}" loading="lazy">.

Die Berechnung des Signalflussplans wird numerisch durchgeführt und bezieht sich auf die explizite Form der Differenzialgleichung, bei der die höchste Ableitung der Ausgangsgröße <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y^{n}(t)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y^{n}(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/46b5447e0766fae36005800ec91d07c4136eb8ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.028ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y^{n}(t)}" loading="lazy"> von der Gleichung freigestellt wird.<a href="#cite_note-8">[8]</a><a href="#cite_note-9">[9]</a>

Beispiel der GDGL eines Feder-Masse-Dämpfungssystems mit dem Eingangssignal <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b375df3b65d282f8715835dc91ccb22f46993959.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u(t)}" loading="lazy">

Im universitären Fachbereich technischer Studienrichtungen wird das <a href="Federpendel" title="Federpendel">Federpendel</a> als ein Übertragungssystem zweiter Ordnung in vielen Fällen als System mit einem Eingang und einem Ausgang definiert. Das linear gedämpft schwingende System verfügt meist über einen Systemeingang <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b375df3b65d282f8715835dc91ccb22f46993959.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u(t)}" loading="lazy"> und einen Systemausgang <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/397de1edef5bf2ee15c020f325d7d781a3aa7f50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.804ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(t)}" loading="lazy"> als Position (Lage) der Masse. Folgende Anwendungsfälle treten auf:

<ul><li>Anwendungsfall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u(t)>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u(t)>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/37a0e44bf0630b25c4cecc32f76bc11700464ced.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.24ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u(t)>0}" loading="lazy"></li></ul>

<dl><dd>Auf den Körper der Masse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> wirken die äußere Kraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F=u(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F=u(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f5e03ac67a9ae0f20dfbcd26b6b918eb4dbc372.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.818ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F=u(t)}" loading="lazy"> sowie die Dämpfungs- und die Federkraft. Die Federkraft in der Ruhelage wird zu Null gesetzt.</dd>

<dd>Nach genügend langer Zeit ist die Ruhelage der Masse abhängig von der Eingangsgröße <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b375df3b65d282f8715835dc91ccb22f46993959.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u(t)}" loading="lazy">, von der Federkonstante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> und der Masse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy">.</dd></dl>

<ul><li>Anwendungsfall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u(t)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u(t)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/22d9c32cf33e6c897f6b0b765d7e9d3fc4565c5c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.24ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u(t)=0}" loading="lazy"></li></ul>

<dl><dd>Das System mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/397de1edef5bf2ee15c020f325d7d781a3aa7f50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.804ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(t)}" loading="lazy"> ist in Bewegung, wenn zum Zeitpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43469ec032d858feae5aa87029e22eaaf0109e9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.101ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t=0}" loading="lazy"> Anfangswerte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d943dbbb0b56ca750c4d62c5b54b4ae29a773da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.193ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{0}}" loading="lazy"> und deren Ableitungen der inneren Energiespeicher gegeben sind.</dd>

<dd>Nach genügend langer Zeit ist die Ruhelage der Masse durch die Größe der Masse und durch die Federkraft bestimmt.</dd></dl>

Es handelt sich bei dem Federpendel um ein lineares Verzögerungssystem 2. Ordnung, das im komplexen Frequenzbereich ein konjugiert komplexes Polpaar aufweist. Das System schwingt gedämpft, wenn die Dämpfungskonstante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cddf6cd1242e088b641c76c3ee375466354f8d5a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.477ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d>0}" loading="lazy"> ist. Bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d\geq 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d\geq 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33476a779aa3e8bc64413c16f777ef15e9d78df6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.477ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle d\geq 1}" loading="lazy"> tritt der aperiodische Grenzfall des Systems ein. Die zugehörige Übertragungsfunktion G(s) lasst sich in 2 PT1-Glieder zerlegen.

Differenzialgleichung der <a href="Schwingung" title="Schwingung">Schwingbewegung</a> mit Signaleingang <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b375df3b65d282f8715835dc91ccb22f46993959.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u(t)}" loading="lazy"> und Signalausgang <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/397de1edef5bf2ee15c020f325d7d781a3aa7f50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.804ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(t)}" loading="lazy">:

(m = Masse, d = Dämpfungskonstante, k = <a href="Federkonstante" title="Federkonstante">Federkonstante</a>, b0 = Faktor)

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\cdot {\ddot {y}}(t)+d\cdot {\dot {y}}(t)+k\cdot y(t)=b_{0}\cdot u(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d46970bc23d4c633ebbc528bb0c5303932a2eca4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:37.7ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle m\cdot {\ddot {y}}(t)+d\cdot {\dot {y}}(t)+k\cdot y(t)=b_{0}\cdot u(t)}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Signalflussplan_für_die_homogene_und_partikuläre_Lösung_der_GDGL_zweiter_Ordnung">Signalflussplan für die homogene und partikuläre Lösung der GDGL zweiter Ordnung</h3></div>

In dem dargestellten Signalflussplan sind alle Koeffizienten der GDGL durch den Koeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/270580da7333505d9b73697417d0543c43c98b9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.284ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{2}}" loading="lazy"> der höchsten Ableitung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\ddot {y}}(t)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\ddot {y}}(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/39b06e7d6103b1c10eba32e955c2739bf40a1a6c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.951ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\ddot {y}}(t)}" loading="lazy"> dividiert worden, um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\ddot {y}}(t)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\ddot {y}}(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/39b06e7d6103b1c10eba32e955c2739bf40a1a6c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.951ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\ddot {y}}(t)}" loading="lazy"> freistellen zu können. Der Signalflussplan entspricht der expliziten Darstellung der GDGL, also der Form der freigestellten Gleichung nach der höchsten Ableitung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y^{(n)}=f(t;\ y;\ {\dot {y}};\ {\ddot {y}}\ \cdots )}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y^{(n)}=f(t;\ y;\ {\dot {y}};\ {\ddot {y}}\ \cdots )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fdb5de283d57aa94d183fbcf50d0bf91c0eacc70.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.979ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle y^{(n)}=f(t;\ y;\ {\dot {y}};\ {\ddot {y}}\ \cdots )}" loading="lazy">.

Der Signalflussplan wird wie dargestellt numerisch berechnet, indem jede mathematische Operation der Koeffizienten und Differenzengleichungen hintereinander erfolgt. Da das Ergebnis der numerischen Berechnung immer tabellarisch erfolgt, gehören sämtliche Berechnungen entsprechend der Folge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> innerhalb einer Zeile. Jede Gleichung besetzt eine Spalte der gleichen Zeile. Es werden <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{\mathrm {max} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{\mathrm {max} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eb034410c31371718dd076a4554ac5fdaa207ca6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.502ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{\mathrm {max} }}" loading="lazy"> identische Zeilen hintereinander berechnet.

Die allgemeine Form der Schwingungsgleichung lautet:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{2}\cdot {\ddot {y}}(t)+a_{1}\cdot {\dot {y}}(t)+a_{0}\cdot y(t)=b_{0}\cdot u(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d0297cbc4a950d2b3653a01a7b850d889ce6360.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.085ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a_{2}\cdot {\ddot {y}}(t)+a_{1}\cdot {\dot {y}}(t)+a_{0}\cdot y(t)=b_{0}\cdot u(t)}" loading="lazy"></dd></dl>

Zur Durchführung der Berechnung wird die GDGL nach der höchsten Ableitung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y^{(n)}(t)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y^{(n)}(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d263880835d33f7ce2fe3d9292962fc181a5437.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.307ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle y^{(n)}(t)}" loading="lazy"> umgestellt und freigestellt.

<td>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\ddot {y}}(t)={\frac {b_{0}}{a_{2}}}\cdot u(t)-{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\cdot {\dot {y}}(t)-{\frac {a_{0}}{a_{2}}}\cdot y(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5bd837ff8aceea8410711b682847e45e1703273.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:38.862ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\ddot {y}}(t)={\frac {b_{0}}{a_{2}}}\cdot u(t)-{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\cdot {\dot {y}}(t)-{\frac {a_{0}}{a_{2}}}\cdot y(t)}" loading="lazy">

</td></tr></tbody></table></dd></dl>

Der dargestellte Signalflussplan erzwingt die Lösung der GDGL zweiter Ordnung für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/397de1edef5bf2ee15c020f325d7d781a3aa7f50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.804ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(t)}" loading="lazy">. Es hängt nun davon ab, ob eine:

<ul><li>homogene Lösung mit Anfangswerten und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u(t)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u(t)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/22d9c32cf33e6c897f6b0b765d7e9d3fc4565c5c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.24ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u(t)=0}" loading="lazy">,</li>

<li>partikuläre Lösung mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u(t)\neq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u(t)\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7fe1ffefa7f5a562aa915b44a6e0fb7a2aedbcfa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.24ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u(t)\neq 0}" loading="lazy"> ohne Anfangswerte,</li>

<li>eine Gesamtlösung mit Anfangswerten und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u(t)\neq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u(t)\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7fe1ffefa7f5a562aa915b44a6e0fb7a2aedbcfa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.24ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u(t)\neq 0}" loading="lazy"> gewünscht wird.</li></ul>

Zur Berechnung der Komponenten des Signalflussplanes sind folgende numerische Operationen erforderlich:

Algebraische Operationen wie z. B. die Differenz der Koeffizienten von der Eingangsgröße <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b375df3b65d282f8715835dc91ccb22f46993959.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u(t)}" loading="lazy"> sind entsprechend der Folge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> bzw. der Folgegleichungen nummeriert.

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {u_{(k)}\cdot b_{0}}{a_{2}}}-{\frac {a_{1}}{a_{2}}}-{\frac {a_{0}}{a_{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e282bde2c1bb4c9bc0e039b1d6af715ac27e9a87.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:20.186ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {u_{(k)}\cdot b_{0}}{a_{2}}}-{\frac {a_{1}}{a_{2}}}-{\frac {a_{0}}{a_{2}}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Für die homogene Lösung ist die Eingangsgröße <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{(k)}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{(k)}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f95c9b56fd6df4ca36c92832f27df8495c53df72.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:7.959ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle u_{(k)}=0}" loading="lazy">.

Für die Berechnung der Integratoren gilt die Differenzengleichung der Integration (Euler-Rückwärts):

<td>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k}=y_{(k-1)}+u_{(k)}\cdot {\frac {\Delta t}{T_{I}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43ffd678e3352a201816712cfe79c770595f5cf9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:22.763ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle y_{k}=y_{(k-1)}+u_{(k)}\cdot {\frac {\Delta t}{T_{I}}}}" loading="lazy">

</td></tr></tbody></table></dd></dl>

Der Term <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{(k)}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{(k)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2f2bc20715cbc408f68b7a1242a5af1a0801f32.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:3.698ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle u_{(k)}}" loading="lazy"> bedeutet hier allgemein die Eingangsgröße für jede Folge der Differenzengleichung. Dies ist in den meisten fällen nicht die System-Eingangsgröße <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b375df3b65d282f8715835dc91ccb22f46993959.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u(t)}" loading="lazy">, sondern es handelt sich um den in der tabellarische Darstellung stehenden Eingangswert, der in der gleichen Zeile links neben der Spalte der Differenzengleichung liegt. Je nach Aufgabenstellung ändert sich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{(k)}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{(k)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2f2bc20715cbc408f68b7a1242a5af1a0801f32.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:3.698ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle u_{(k)}}" loading="lazy"> ständig mit steigender Folge. Bei mehreren Differenzengleichungen in Reihenschaltung ist die Ausgangsgröße <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{(k)}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{(k)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d25a373f109c5ac6507d8959867c735ccca40669.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:3.507ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y_{(k)}}" loading="lazy"> die Eingangsgröße der nächsten Differenzengleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{(k)}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{(k)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2f2bc20715cbc408f68b7a1242a5af1a0801f32.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:3.698ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle u_{(k)}}" loading="lazy">.

Die Integrationskonstante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{I}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{I}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67f364dbbb21e9d8869dca6e88c17c582cb57c23.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.418ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{I}}" loading="lazy"> hat ohne besondere Spezifikation den Wert 1.

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{(k-1)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/116aa74209660d01078c3986006229356e718936.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:5.608ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y_{(k-1)}}" loading="lazy"> bezieht sich auf das Ergebnis einer um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/21363ebd7038c93aae93127e7d910fc1b2e2c745.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.214ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle k-1}" loading="lazy"> zurückliegenden Folge (Zeile) der gleichen Spalte der Differenzengleichung.

Da zwei Integratoren in Reihenschaltung vorliegen, ist die Ausgangsgröße des ersten Integrators die Eingangsgröße des zweiten Integrators. Die Ausgangsgröße des zweiten Integrators ist die gesuchte Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{(k)}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{(k)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d25a373f109c5ac6507d8959867c735ccca40669.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:3.507ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y_{(k)}}" loading="lazy"> der gleichen Folge für einen Stützpunkt in Annäherung an die analytische Funktion.

Liegen Anfangswerte der GDGL vor, werden für den entsprechenden Integrator für die Berechnungsfolge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6307c8a99dad7d0bcb712352ae0a748bd99a038b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.472ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k=0}" loading="lazy"> anstelle des Wertes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{(k)}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{(k)}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7639dc9d52b44c02f5a2320c4cdaac77e376e1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:7.768ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle y_{(k)}=0}" loading="lazy"> (1. Zeile der Tabelle) die Anfangswerte der zwei Differenzengleichungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{(k=0)}=y_{0}^{'}\ {\text{bzw.}}\ =y_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{(k=0)}=y_{0}^{'}\ {\text{bzw.}}\ =y_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/baa61e544bd4e832b272df2eaf3be43ff5ea9bbe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:22.003ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle y_{(k=0)}=y_{0}^{'}\ {\text{bzw.}}\ =y_{0}}" loading="lazy"> eingegeben.

Da die numerische Lösung der GDGL eine Annäherung an die Originalfunktion darstellt, hängt die Genauigkeit der Berechnung für die angegebene Differenzengleichung von der Größe der diskreten Zeit ab. Wird für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8c28867ecd34e2caed12cf38feadf6a81a7ee542.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.775ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta t}" loading="lazy"> ein Wert von ca. 0,1 % von der dominanten System-Zeitkonstante gewählt, ist ein Annäherungsfehler von ca. 0,1 % zu erwarten.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiel_der_homogenen_Lösung_eines_senkrecht_schwingenden_Federpendels_ohne_Eingangssignal_u(t)_=_0_mit_Anfangswerten">Beispiel der homogenen Lösung eines senkrecht schwingenden Federpendels ohne Eingangssignal u(t) = 0 mit Anfangswerten</h3></div>

Siehe Bild: Signalflussplan der Regelungsnormalform für ein Übertragungssystem 2. Ordnung!

Das Federpendel kann auch als ein System mit einem Eingangssignal = Null zum Zeitpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02d3006c4190b1939b04d9b9bb21006fb4e6fa4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.894ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{0}}" loading="lazy"> mit den Anfangswerten der Federkraft und der Masse definiert werden. In diesem Fall ist das System zum Zeitpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02d3006c4190b1939b04d9b9bb21006fb4e6fa4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.894ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{0}}" loading="lazy"> sich selbst überlassen und strebt eine Ruhelage an, die durch die Federkraft, Masse und Dämpfung bestimmt wird.

Die Anfangswerte werden wie folgt definiert:

<ul><li>Die Lage der Masse im Ruhezustand wird als Null festgelegt.</li>

<li>Die Lage der Masse wird auf eine Höhe mit dem Anfangswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{0}=1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{0}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3aa87b0b479f0b8902c2f3b25a3069d31f35b00c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.454ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y_{0}=1}" loading="lazy"> angehoben definiert und zum Zeitpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43469ec032d858feae5aa87029e22eaaf0109e9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.101ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t=0}" loading="lazy"> fallen gelassen.</li>

<li>Der Anfangswert des ersten Integrators <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y'_{0}}">

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y'_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/011149335f24120e9b66f20a1621429aa279cd5f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.193ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y'_{0}}" loading="lazy"> muss im angehobenen Zustand der Masse den Wert Null, also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y'_{0}=0}">

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y'_{0}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4a03b151b882705a6f06cd3d955410f616c76c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:6.454ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y'_{0}=0}" loading="lazy"> annehmen, anderenfalls kann der Anfangswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{0}=1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{0}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3aa87b0b479f0b8902c2f3b25a3069d31f35b00c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.454ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y_{0}=1}" loading="lazy"> nicht auf den Anfangswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{0}=1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{0}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3aa87b0b479f0b8902c2f3b25a3069d31f35b00c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.454ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y_{0}=1}" loading="lazy"> verharren. Ein konstanter Ausgangswert bei zwei hintereinander geschalteten Integratoren ist nur möglich, wenn der Ausgangswert des ersten Integrators gleich Null ist.</li></ul>

Für die homogene Lösung der GDGL des Federpendels sind folgende rekursive Berechnungen nach dem Signalflussplan erforderlich:

<ul><li>Die Eingangsgröße <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {u_{(k)}\cdot b_{0}}{a_{2}}}}">

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {u_{(k)}\cdot b_{0}}{a_{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/454b294eeee6bbab908cd479ab05be204d516566.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:8.265ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {u_{(k)}\cdot b_{0}}{a_{2}}}}" loading="lazy"> ist gleich Null.</li></ul>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\cdot y'_{(k)}-{\frac {a_{0}}{a_{2}}}\cdot y_{(k)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/42cde07a3e70015e30ba9bf1124fd97e34944897.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:21.262ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle -{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\cdot y'_{(k)}-{\frac {a_{0}}{a_{2}}}\cdot y_{(k)}}" loading="lazy">. Diese mit den Koeffizienten bewertete Ausgangsgrößen der Integratoren wirken als Eingangsgröße auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\ddot {y}}(t)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\ddot {y}}(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/39b06e7d6103b1c10eba32e955c2739bf40a1a6c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.951ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\ddot {y}}(t)}" loading="lazy">.</dd></dl></dd></dl>

<ul><li>Differenzengleichung des ersten I-Gliedes:</li></ul>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k}=y_{(k-1)}+u_{(k)}\cdot {\frac {\Delta t}{T_{I}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43ffd678e3352a201816712cfe79c770595f5cf9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:22.763ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle y_{k}=y_{(k-1)}+u_{(k)}\cdot {\frac {\Delta t}{T_{I}}}}" loading="lazy">. Der Ausgangswert des ersten Integrators ist der Eingangswert des zweiten Integrators. (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{I}=1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{I}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd3edb15439df79b48440ee1fec2ff3f9bba2812.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.679ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{I}=1}" loading="lazy">)</dd></dl></dd></dl>

<ul><li>Differenzengleichung des zweiten I-Gliedes:</li></ul>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k}=y_{(k-1)}+u_{(k)}\cdot {\frac {\Delta t}{T_{I}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43ffd678e3352a201816712cfe79c770595f5cf9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:22.763ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle y_{k}=y_{(k-1)}+u_{(k)}\cdot {\frac {\Delta t}{T_{I}}}}" loading="lazy">. Der Ausgangswert des zweiten Integrators ist das Ergebnis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b2ab0248723a410cc2c67ce06ad5c043dcbb933.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.228ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{k}}" loading="lazy"> einer Berechnungszeile. (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{I}=1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{I}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd3edb15439df79b48440ee1fec2ff3f9bba2812.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.679ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{I}=1}" loading="lazy">)</dd></dl></dd></dl>

<ul><li>Die erste Berechnungszeile für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{(k=0)}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{(k=0)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/097f6cdd0ce62efdb37fdd4044ad9840ef8012c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:5.608ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y_{(k=0)}}" loading="lazy"> enthält die Anfangswerte der Integratoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {y}}_{0}(t)=0}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {y}}_{0}(t)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/902e389fea42c406450006a74be28cf05093c3d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.266ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\dot {y}}_{0}(t)=0}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{0}(t)=1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{0}(t)=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b5662ff4bc93fd4b821c502c5fdeb717321d8bb9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.103ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y_{0}(t)=1}" loading="lazy"> der Differenzengleichungen. Alle übrigen Gleichungen in dieser Zeile haben den Wert Null.</li></ul>

Werden diese Gleichungen für eine grafische Darstellung mit einer Betrachtungszeit von 10 Sekunden mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta t=0{,}01\,\mathrm {s} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta t=0{,}01\,\mathrm {s} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6dbb8a9a4b4b5e0db65c698339a500765127570e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.312ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta t=0{,}01\,\mathrm {s} }" loading="lazy"> berechnet, sind 1000 identische Berechnungsfolgen (Zeilen) erforderlich. Jede Folge liefert im Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8c28867ecd34e2caed12cf38feadf6a81a7ee542.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.775ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta t}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{(k)}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{(k)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d25a373f109c5ac6507d8959867c735ccca40669.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:3.507ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y_{(k)}}" loading="lazy"> einen Wert. Der größte Approximationsfehler beträgt wegen der gewählten Größe von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta t=0{,}01\,\mathrm {s} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta t=0{,}01\,\mathrm {s} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6dbb8a9a4b4b5e0db65c698339a500765127570e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.312ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta t=0{,}01\,\mathrm {s} }" loading="lazy"> etwa 1 %.

Mit Ausnahme der Folgegleichung für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6307c8a99dad7d0bcb712352ae0a748bd99a038b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.472ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k=0}" loading="lazy"> (1. Zeile) sind alle weiteren Folgegleichungen (Zeilen) identisch.

Tabellarische Berechnung des Pendels:

Zur Berechnung der Koeffizienten als Eingangsgröße des ersten Integrators der Folge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> stehen die Werte von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y'_{(k)}}">

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y'_{(k)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/12599cb0713f1ca4b04ae2d9509105e8e870da0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:3.507ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle y'_{(k)}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{(k)}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{(k)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d25a373f109c5ac6507d8959867c735ccca40669.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:3.507ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y_{(k)}}" loading="lazy"> noch nicht zur Verfügung. Deshalb müssen diese Werte von einer zurückliegenden Folge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/21363ebd7038c93aae93127e7d910fc1b2e2c745.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.214ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle k-1}" loading="lazy"> entnommen werden. Zur Vermeidung von Rundungsfehlern, die sich addieren, wurde mit sehr hoher Stellenzahl der Tabellenkalkulation gerechnet.

<th>Folge k</th>

<th>Diskrete Zeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{(k)}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{(k)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2fb080827d8825099bd4d63bf21fb101f3010752.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:3.208ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle t_{(k)}}" loading="lazy"></th>

<th>Koeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -0{,}75\cdot y'_{(k)}-6{,}25\cdot y_{(k)}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -0{,}75\cdot y'_{(k)}-6{,}25\cdot y_{(k)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d31b15a1c47c9eb9c8edcb8a8453ca3a2c9e4e00.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:23.29ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle -0{,}75\cdot y'_{(k)}-6{,}25\cdot y_{(k)}}" loading="lazy"></th>

<th>Erste numerische Integration <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y'_{(k)}}">

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y'_{(k)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/12599cb0713f1ca4b04ae2d9509105e8e870da0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:3.507ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle y'_{(k)}}" loading="lazy"></th>

<th>Zweite numerische Integration <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{(k)}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{(k)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d25a373f109c5ac6507d8959867c735ccca40669.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:3.507ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y_{(k)}}" loading="lazy">

</th></tr>

<tr>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y'_{0}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4a03b151b882705a6f06cd3d955410f616c76c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:6.454ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y'_{0}=0}" loading="lazy"></td>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{0}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3aa87b0b479f0b8902c2f3b25a3069d31f35b00c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.454ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y_{0}=1}" loading="lazy">

</td></tr>

<tr>

<td>0,999375

</td></tr>

<tr>

<td>0,998130

</td></tr>

<tr>

<td>0,9962706

</td></tr>

<tr>

<td>

</td></tr>

<tr>

<td>−0,6203322

</td></tr></tbody></table>

Siehe Zahlenwerte im letzten Bild für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{(k=126)}=1{,}26\ [sec]}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{(k=126)}=1{,}26\ [sec]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cfbc0aba78eea3d4cb9e0b5f83fa4ce10db07925.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:19.24ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle t_{(k=126)}=1{,}26\ [sec]}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{(k=126)}=-0{,}62}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{(k=126)}=-0{,}62}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6993efd23422f63c21813056cb2260d5206b66c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:16.293ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle y_{(k=126)}=-0{,}62}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Partikuläre_Lösung_der_GDGL_eines_senkrecht_schwingenden_Federpendels_mit_Eingangssignal_u(t)_>_0_ohne_Anfangswerte">Partikuläre Lösung der GDGL eines senkrecht schwingenden Federpendels mit Eingangssignal u(t) > 0 ohne Anfangswerte</h3></div>

Für die partikuläre Lösung der GDGL des Federpendels sind folgende rekursive Berechnungen nach dem Signalflussplan erforderlich:

<ul><li>Die Eingangsgröße <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {u_{(k)}\cdot b_{0}}{a_{2}}}}">

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {u_{(k)}\cdot b_{0}}{a_{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/454b294eeee6bbab908cd479ab05be204d516566.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:8.265ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {u_{(k)}\cdot b_{0}}{a_{2}}}}" loading="lazy"> wird für einen normierten Sprung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u(t)=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u(t)=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5b746f667ee8e5f78fd90fd89b3a55c897bcfcae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.24ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u(t)=1}" loading="lazy"> gewählt.</li></ul>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {b_{0}}{a_{2}}}\cdot u_{(k)}-{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\cdot y'_{(k)}-{\frac {a_{0}}{a_{2}}}\cdot y_{(k)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef6fc5795d84e2b43cfd0147485a98320f27875f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:30.791ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {b_{0}}{a_{2}}}\cdot u_{(k)}-{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\cdot y'_{(k)}-{\frac {a_{0}}{a_{2}}}\cdot y_{(k)}}" loading="lazy">. Diese bewerteten Koeffizienten wirken als Eingangsgröße auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\ddot {y}}(t)}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\ddot {y}}(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/39b06e7d6103b1c10eba32e955c2739bf40a1a6c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.951ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\ddot {y}}(t)}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl>

<ul><li>Differenzengleichung des ersten I-Gliedes:</li></ul>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k}=y_{(k-1)}+u_{(k)}\cdot {\frac {\Delta t}{T_{I}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43ffd678e3352a201816712cfe79c770595f5cf9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:22.763ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle y_{k}=y_{(k-1)}+u_{(k)}\cdot {\frac {\Delta t}{T_{I}}}}" loading="lazy">. Der Ausgangswert des ersten Integrators ist der Eingangswert des zweiten Integrators. (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{I}=1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{I}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd3edb15439df79b48440ee1fec2ff3f9bba2812.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.679ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{I}=1}" loading="lazy">)</dd></dl></dd></dl>

<ul><li>Differenzengleichung des zweiten I-Gliedes:</li></ul>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k}=y_{(k-1)}+u_{(k)}\cdot {\frac {\Delta t}{T_{I}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43ffd678e3352a201816712cfe79c770595f5cf9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:22.763ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle y_{k}=y_{(k-1)}+u_{(k)}\cdot {\frac {\Delta t}{T_{I}}}}" loading="lazy">. Der Ausgangswert des zweiten Integrators ist das Ergebnis <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b2ab0248723a410cc2c67ce06ad5c043dcbb933.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.228ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{k}}" loading="lazy"> einer Berechnungszeile. (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{I}=1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{I}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd3edb15439df79b48440ee1fec2ff3f9bba2812.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.679ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{I}=1}" loading="lazy">)</dd></dl></dd></dl>

<ul><li>Die erste Berechnungszeile für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{(k=0)}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{(k=0)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/097f6cdd0ce62efdb37fdd4044ad9840ef8012c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:5.608ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y_{(k=0)}}" loading="lazy"> enthält die Anfangswerte der Integratoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {y}}_{0}(t)=0}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {y}}_{0}(t)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/902e389fea42c406450006a74be28cf05093c3d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.266ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\dot {y}}_{0}(t)=0}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{0}(t)=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{0}(t)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c0f0ce07278cc7a7e0e3b1ea4f6c930cf3b15743.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.103ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y_{0}(t)=0}" loading="lazy"> der Differenzengleichungen. Alle übrigen Gleichungen in dieser Zeile haben den Wert Null.</li></ul>

Das Ergebnis der numerischen Berechnung ist eine spiegelbildliche Darstellung des Verlaufs von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/397de1edef5bf2ee15c020f325d7d781a3aa7f50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.804ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y(t)}" loading="lazy"> der homogenen Lösung für die gewählten Daten. Das System <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{(k)}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{(k)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d25a373f109c5ac6507d8959867c735ccca40669.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:3.507ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y_{(k)}}" loading="lazy"> startet bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta t=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta t=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06441b72a78495781baa60b0fabd25fd6728bcd0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.036ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta t=0}" loading="lazy"> gedämpft schwingend und nähert sich asymptotisch nach genügend langer Zeit dem Wert 1.

Die Gesamtlösung der GDGL <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{H}(t)+y_{P}(t)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{H}(t)+y_{P}(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c382c5c7daca088aecb85b7844439bdbf35f89ee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.575ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y_{H}(t)+y_{P}(t)}" loading="lazy"> der gewählten Daten lautet für alle Folgen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{(k)}=1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{(k)}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f42215c241a1a2cdb27ba2607858b448a6395050.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:7.768ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle y_{(k)}=1}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<li><a href="Zustandsraumdarstellung" title="Zustandsraumdarstellung">Zustandsraumdarstellung</a></li>

<li><a href="Systemidentifikation" title="Systemidentifikation">Systemidentifikation</a></li></ul>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Einf%C3%BChrung_in_die_Systemtheorie" class="extiw external" title="b:Einführung in die Systemtheorie">Wikibooks: Einführung in die Systemtheorie</a> – Lern- und Lehrmaterialien</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Jürgen Koch, Martin Stämpfle / Mathematik für das Ingenieurstudium. Karl Hanser Verlag München. 4. Auflage 2018, ISBN 978-3-446-45166-7</li>

<li>Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: <cite style="font-style:italic">Einführung in die Systemtheorie, Signale und Systeme in der Elektrotechnik und Informationstechnik</cite>. 4. Auflage. Teubner-Verlag, 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Dynamisches+System+%28Systemtheorie%29&rft.au=Bernd+Girod%2C+Rudolf+Rabenstein%2C+Alexander+Stenger&rft.btitle=Einf%C3%BChrung+in+die+Systemtheorie%2C+Signale+und+Systeme+in+der+Elektrotechnik+und+Informationstechnik&rft.date=2007&rft.edition=4.&rft.genre=book&rft.isbn=9783835101760&rft.pub=Teubner-Verlag" style="display:none"> </li>

<li>Jan Lunze: <cite style="font-style:italic">Regelungstechnik 1: Systemtheoretische Grundlagen, Analyse und Entwurf einschleifiger Regelungen</cite>. 7. Auflage. Springer, 2008, ISBN 3-540-68907-9.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Dynamisches+System+%28Systemtheorie%29&rft.au=Jan+Lunze&rft.btitle=Regelungstechnik+1%3A+Systemtheoretische+Grundlagen%2C+Analyse+und+Entwurf+einschleifiger+Regelungen&rft.date=2008&rft.edition=7.&rft.genre=book&rft.isbn=3540689079&rft.pub=Springer" style="display:none"> </li>

<li>Holger Lutz, <a href="Wolfgang_Wendt" title="Wolfgang Wendt">Wolfgang Wendt</a>: <cite style="font-style:italic">Taschenbuch der Regelungstechnik mit MATLAB und Simulink</cite>. 12. Auflage. Europa-Lehrmittel, 2021, ISBN 978-3-8085-5870-6.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Dynamisches+System+%28Systemtheorie%29&rft.au=Holger+Lutz%2C+Wolfgang+Wendt&rft.btitle=Taschenbuch+der+Regelungstechnik+mit+MATLAB+und+Simulink&rft.date=2021&rft.edition=12.&rft.genre=book&rft.isbn=9783808558706&rft.pub=Europa-Lehrmittel" style="display:none"> </li>

<li>Rolf Unbehauen: Systemtheorie Band 1. 8. korr. Auflage, Oldenbourg 2002, ISBN 3-486-25999-7.</li>

<li><a href="G%C3%BCnter_Ropohl" title="Günter Ropohl">Günter Ropohl</a>, Eine Systemtheorie der Technik – Zur Grundlegung der allgemeinen Technologie, Carl Hanser Verlag 1979, ISBN 3-446-12801-8.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Prof. Dr.-Ing. O. Sawodny, Universität Stuttgart, „Systemdynamische Grundlagen der Regelungstechnik“.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Prof. M. Ottens, FH Berlin, Vorlesungsmanuskript: „Grundlagen der Systemtheorie“.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Fachbuch: Autor: Jan Lunze / Regelungstechnik 1, 5. Auflage, Springer-Verlag. Siehe Kapitel: Nichtlineare Regelungen, Unterkapitel: „Definition der Nichtlinearität“.

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Fachbuch: Autor Jürgen Koch, Martin Stämpfle / Mathematik für das Ingenieurstudium. Karl Hanser Verlag München. 4. Auflage. Siehe: Hauptkapitel „Gewöhnliche Differenzialgleichungen“.

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Fachbuch: Autor Holger Lutz / Wolfgang Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik, Verlag: Europa-Lehrmittel, 12. Auflage. Siehe Kapitel: „Übertragungsfunktionen von Übertragungselementen“.

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Fachbuch: Autor Jan Lunze: Regelungstechnik 1, 5. Auflage, Springer-Verlag. Siehe Kapitel: „Zustandsraumdarstellung linearer Systeme“.

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Fachbuch: Autor Jürgen Koch, Martin Stämpfle / Mathematik für das Ingenieurstudium. 4. Auflage, Karl Hanser Verlag München. Siehe: Hauptkapitel: „Numerische Verfahren“, Unterkapitel: „Polygonzugverfahren“.

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> Fachbuch: Autor Jürgen Koch, Martin Stämpfle / Mathematik für das Ingenieurstudium. 4. Auflage, Karl Hanser Verlag München. Siehe: Kapitel: „Schwingungsdifferenzialgleichungen“.

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> Fachbuch: Autor Holger Lutz / Wolfgang Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik, Verlag: Europa-Lehrmittel, 12. Auflage. Siehe Hauptkapitel: „Proportionalelemente mit Verzögerung“, Unterkapitel: „PT2-Element mit Verzögerung 2. Ordnung“.

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>